Dos integrales por sustitución interesantes (I)

Lo que sigue es la resolución paso a paso de dos integrales indefinidas que pueden despacharse con sustituciones (y algo de ayuda de las tablas de integración). Me parecieron interesantes porque parten de expresiones diferentes hasta llegar a la misma regla de integración.

A continuación la primera:
\[\int{\frac{{{\left[ \ln \left( x \right) \right]}^{3}}dx}{x\left[ 2{{\left( \ln \left( x \right) \right)}^{8}}+5 \right]}}\]
Acomodando un poco las potencias del denominador

\[\int{\frac{{{\left[ \ln \left( x \right) \right]}^{3}}dx}{x\left[ 2{{\left( {{\left( \ln \left( x \right) \right)}^{4}} \right)}^{2}}+5 \right]}}\]
Primer cambio de variable

\[u={{\left( \ln \left( x \right) \right)}^{4}}\]
\[du=4{{\left( \ln \left( x \right) \right)}^{3}}\cdot \frac{1}{x}dx\]

\[\frac{du}{4}=\frac{{{\left( \ln \left( x \right) \right)}^{3}}dx}{x}\]

Quedando la expresión así

\[\frac{1}{4}\int{\frac{du}{2{{u}^{2}}+5}}\]

\[\frac{1}{4}\int{\frac{du}{5+2{{u}^{2}}}}\]

\[\frac{1}{4}\int{\frac{du}{{{\left( \sqrt{5} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{2}u \right)}^{2}}}}\]

Segundo cambio de variable

\[w=\sqrt{2}u\]

\[dw=\sqrt{2}du\]

\[\frac{dw}{\sqrt{2}}=du\]

Quedando la expresión así

\[\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\int{\frac{dw}{{{\left( \sqrt{5} \right)}^{2}}+{{\left( w \right)}^{2}}}}\]

Identificamos una regla de integración apropiada (en la tabla de integrales)\[\int{\frac{du}{{{a}^{2}}+{{u}^{2}}}}=\frac{1}{a}\arctan \left( \frac{u}{a} \right)\]

Y acomodamos la expresión para aplicarla:

\[\frac{1}{4\sqrt{2}}\int{\frac{dw}{{{\left( \sqrt{5} \right)}^{2}}+{{\left( w \right)}^{2}}}}\]

Resolvemos la integral

\[\frac{1}{4\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}\arctan \left( \frac{w}{\sqrt{5}} \right)+c\]

Y devolvemos los cambios

\[\frac{1}{4\sqrt{10}}\arctan \left( \frac{\sqrt{2}u}{\sqrt{5}} \right)+c\]

\[\frac{1}{4\sqrt{10}}\arctan \left( \frac{\sqrt{2}{{\left( \ln \left( x \right) \right)}^{4}}}{\sqrt{5}} \right)+c\]

Racionalizando queda

\[\frac{\sqrt{10}}{40}\arctan \left( \frac{\sqrt{10}{{\left( \ln \left( x \right) \right)}^{4}}}{5} \right)+c\]

Y la resolución paso a paso de Maple:

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Y la segunda:
\[\int{\frac{dx}{\sqrt{5{{e}^{3x}}-7}}}\]

Primer cambio de variable

\[u=5{{e}^{3x}}-7\Rightarrow u+7=5{{e}^{3x}}\]

\[du=5{{e}^{3x}}\cdot 3dx\]

\[\frac{du}{3\cdot 5{{e}^{3x}}}=dx\]

\[\frac{du}{3\left( u+7 \right)}=dx\]

Quedando la expresión así

\[\frac{1}{3}\int{\frac{du}{\left( u+7 \right)\sqrt{u}}}\]

Segundo cambio de variable

\[w=\sqrt{u}\]

\[{{w}^{2}}=u\]

\[dw=\frac{1}{2}{{u}^{{}^{-1}/{}_{2}}}du\]

\[dw=\frac{du}{2\sqrt{u}}\]

\[2dw=\frac{du}{\sqrt{u}}\]

Quedando la expresión así

\[2\cdot \frac{1}{3}\int{\frac{dw}{{{w}^{2}}+7}}\]

\[\frac{2}{3}\int{\frac{dw}{{{w}^{2}}+{{\left( \sqrt{7} \right)}^{2}}}}\]

Identificamos una regla de integración apropiada (en la tabla de integrales)\[\int{\frac{du}{{{a}^{2}}+{{u}^{2}}}}=\frac{1}{a}\arctan \left( \frac{u}{a} \right)\]

Y la aplicamos

\[\frac{2}{3}\left( \frac{1}{\sqrt{7}}\arctan \left( \frac{w}{\sqrt{7}} \right)+c \right)\]
\[\frac{2}{3\sqrt{7}}\arctan \left( \frac{\sqrt{5{{e}^{3x}}-7}}{\sqrt{7}} \right)+c\]

Racionalizando queda:

\[\frac{2\sqrt{7}}{21}\arctan \left( \frac{\sqrt{7\cdot \left( 5{{e}^{3x}}-7 \right)}}{7} \right)+c\]

Y la resolución paso a paso de Maple: